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蒙特利尔大学随机过程由哪几个类型组成?

作者:海马 发布时间:2023-09-13 14:16

蒙特利尔大学随机过程由哪几个类型组成?老师可以简单介绍一下吗?

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随机过程是以数学集合为索引的随机变量集合。每个概率和随机过程都与集合中的一个元素唯一相关。索引集是用来索引随机变量的集合。传统上,索引集是实线的一个子集,如自然数,这使索引集具有时间解释。

值集中的每个随机变量都取自同一个数学空间,称为空间。例如,空间可以是整数、实线或 η 维欧几里得空间。随机过程的增量是随机过程在两个指数值之间的变化量,通常解释为两个时间点。由于随机性,随机过程可以有很多结果,随机过程的一个结果被称为检验函数或实现等。
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一、分类

随机过程可以有多种分类方法,例如,根据其状态空间、索引集或对随机变量的依赖性进行分类,而随机过程的分类方法之一是根据索引集和状态空间的卡入度进行分类。

当一个随机过程用时间来表示时,如果它的索引集包含有限个或可数个元素,如有限个数集、整数集或自然数集,那么它就被称为离散时间随机过程。如果索引集是实线的区间,则称其为连续时间。离散时间随机过程和连续时间随机过程是随机过程的两种类型。连续时间随机过程需要更复杂的数学技术和知识,特别是因为索引集是不可计算的,而离散时间随机过程被认为更容易研究。如果索引集由整数或整数子集组成,随机过程也称为随机序列。

如果空间由整数或自然数组成,随机过程称为离散或整数随机过程。如果空间是实线,随机过程称为实值随机过程或连续空间过程。如果空间是 η 维欧几里得空间,随机过程称为 η 维向量过程或 η 向量过程。

二、随机过程的类型

任何事件的概率都取决于一系列外部因素。数学中的概率》一章探讨了这些因素的数学解释及其用于计算此类事件的概率。根据概率论,所有随机变量的计算都是为了找到一个事件发生的确定数字。当这些随机变量组合成一个集合时,就称为随机过程。随机过程用于数学模型中,用来理解任何高度随机行为导致的现象或系统。在这个不断活跃和变化的世界中,这种现象随时随地都可能发生。

为了便于学习随机过程,我们将其分为不同的类别。如果样本空间由有限的数集或可数元素(如整数、自然数或任何实数)组成,则在时间上保持离散。 如果是不可数的索引集,过程就会变得更加复杂。这门课程在高年级教授。本文将讨论离散时间中的随机过程。

构成随机过程的不同类型过程如下:

1.伯努利过程

伯努利过程是最简单的随机过程之一。它是一连串独立且同分布的随机变量(iid),其中每个随机变量的概率为 1 或 0,例如,1 的概率为 P,0 的概率为 1-P。这个过程类似于重复抛掷硬币,得到正面的概率为 P,数值为 1,得到尾部的概率为 0。换句话说,伯努利过程是一系列 iid 伯努利随机变量,其中每次抛硬币代表一个伯努利过程。

2.随机游走

随机游走是一种随机过程,通常定义为欧几里得空间中 iid 随机变量或随机向量的和,即离散时间过程。不过,也有人用这个术语来指实时变化的过程,如金融学中使用的维纳过程,这引起了一些混淆和批评。其他类型的随机路径的定义方式使其状态空间可以是其他数学对象,如网格和群,并在各学科中得到广泛研究和应用。

简单随机游走是随机游走的一个经典例子。它是一种以整数为状态空间的随机离散时间过程,以伯努利过程为基础,其中每个伯努利变量都取正值或负值。换句话说,简单随机游走发生在整数上,其值增加 1 的概率为 1-p,或减少 1 的概率为 1-p,因此这种随机游走的指数集由自然数组成,而其状态空间由整数组成。如果 p=0.5,这种随机游走称为非对称随机游走。

3.维纳过程

维纳过程是一个静态随机过程,其增量的大小独立且呈正态分布。维纳过程是以证明其数学存在性的诺伯特-维纳命名的,但也被称为布朗运动过程或简单的布朗运动,因为它作为流体中布朗运动的模型具有重要的历史意义。

维纳过程在概率论中起着核心作用,通常被认为是最重要的随机过程,其研究与其他随机过程有关。它具有连续的指数集和状态空间,因为其指数集和状态空间分别是非负数和实数。不过,该过程也可以定义得更宽泛,使其状态空间成为无量纲欧几里得空间。如果每个增量的平均值为零,则称所产生的维纳或布朗运动过程为零漂移。如果两个时间点之间的平均增量等于时间差乘以常数 μ(μ 为实数),则所得到的随机过程称为漂移 μ。

几乎可以肯定的是,维纳过程的样本轨迹在任何地方都是连续的,但在任何一点都不可微。可以将其视为简单随机游走的连续变体。唐斯克定理或不变性原理,也称为中心函数极限定理,涉及其他随机过程的数学极限,如一些标量随机游走。

维纳过程属于几个重要的随机过程族,包括马尔可夫族、莱维族和高斯族。该过程应用广泛,是随机微积分中的主要随机过程。它是定量金融学的基础,被用于 Black-Scholes-Merton 模型等模型中。该过程还被用作多个领域中各种随机现象的数学模型,包括大多数自然科学和社会科学的一些分支。

4.泊松过程

泊松过程是一种具有不同形式和定义的随机过程。它是一个计数过程,是一个随机过程,代表某个时间间隔内的随机点数或事件。过程中位于从零到给定时间间隔内的点数是一个随机泊松变量,取决于该时间和某个参数。该过程的状态空间由自然数组成,其索引集由非负数组成。这个过程也被称为泊松计数过程,因为它可以被解释为一个计数过程。

同质泊松过程是一种泊松过程,其中泊松过程由一个单一的正常数定义。同质泊松过程与马尔可夫过程和莱维过程属于同一类随机过程。

同质泊松过程有多种定义和概括方法。这种随机过程也被称为静止泊松过程,因为它的指数集是一条实线。如果把泊松过程的常数参数换成非负积分函数 t,那么得到的过程就称为非均质或非均质泊松过程,因为过程中各点的平均密度不再是常数。泊松过程是排队论中的一个基本过程,也是数学模型中的一个重要过程,它被用来模拟在一定时间窗口内随机发生的事件。

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