澳洲墨尔本大学ENGR20005留学生课程指南

ENGR20005旨在让学生掌握解决常见物理工程问题的计算工具。讲座的重点是典型的物理工程问题，以及通过有效实施经典算法解决这些问题。这篇文章为大家带来澳洲墨尔本大学ENGR20005留学生课程指南。

一、课程简介

指示性内容：基本编程概念和结构，如：数组、循环、条件语句和函数;数值计算技术，如：求根、线性代数方程组、最小二乘法、插值、微分、积分、常微分方程数值积分和两点边界值问题、数值稳定性和收敛性、使用傅立叶分析的数值方案。

二、什么是数值分析?

数值分析是数学的一个分支，它使用数值近似法解决连续问题。它涉及设计能给出近似但精确数值解的方法，这在精确解无法计算或计算成本过高的情况下非常有用。数值分析还包括确定这些方法的收敛性、准确性、稳定性和计算复杂性。

MATLAB广泛用于工程、计算金融和计算生物学领域的应用数值分析。它提供了一系列数值方法，用于

插值、外推法和回归法

微分和积分

线性方程组

特征值和奇异值

常微分方程 (ODE)

偏微分方程 (PDE)

您还可以使用 MATLAB 产品系列执行快速傅立叶变换、正交、优化和线性规划。此外，您还可以使用 MATLAB 语言对向量和矩阵运算的内置支持，创建和实施自己的数值方法。

三、数值分析讲解

工程中的数值方法是用于解决过于复杂或无法用分析方法解决的工程问题的数学技 术。这些方法涉及使用计算机和算法等计算工具近似求解。它们在机械、土木、电气、航空航天等各种工程领域发挥着至关重要的作用，在这些领域中，复杂的系统和现象需要进行数值模拟、分析和优化。

以下是工程学中使用的一些关键数值方法：

1. 寻根方法：

- 牛顿-拉夫逊法： 用于通过迭代精炼解法找到非线性方程的根。

- 分段法： 一种在指定区间内寻找实值函数根的简单方法。

2. 数值积分与微分：*

- 梯形法则、辛普森法则： 计算定积分的近似积分法。

- 有限差分法： 用于数值微分和通过导数离散化解微分方程。

3. 线性系统的求解：

- 高斯消元法： 通过行运算求解线性方程组的方法。

- LU 分解： 将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵，以高效求解系统。

- 迭代法(如雅可比法、高斯-赛德尔法)： 通过迭代改进猜测来近似求解。

4. 常微分方程(ODEs)的数值解法：

- 欧拉法： 使用离散步骤求解 ODE 初始值问题的简单方法。

- Runge-Kutta 方法：高阶方法，为求解 ODE 提供更好的精度和稳定性。

5. 偏微分方程(PDEs)的数值解法： 5.

- 有限差分法： 将空间和时间离散化，近似导数来求解偏微分方程。

- 有限元法： 将复杂域划分为较小的元素，利用变分原理求解偏微分方程。

6. 优化技术：

- 梯度下降法： 用于通过向最陡峭下降方向迭代移动来找到函数的最小值。

- 遗传算法： 受生物进化和选择过程启发的优化方法。

- 模拟退火法： 一种模仿冶金退火过程的概率优化算法。

7. 特征值问题的数值解法：

- 幂迭代法： 用于找到矩阵的主特征值和相应的特征向量。

- QR 算法： 用于查找矩阵所有特征值和特征向量的迭代法。

8. 微分代数方程(DAEs)的数值方法：

- 逆微分公式： 用于求解刚性微分方程系。

- 齿轮法： 用于求解微分代数方程的隐式方法系列。

这些数值方法使工程师能够分析复杂系统、预测行为、优化设计并做出明智决策。这些方法使用编程语言和专用软件包实现，其效率和精度取决于离散化方案、收敛标准和数值算法的选择等因素。

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