MATH2088：数论与密码学课程1V1辅导

数论是一个广阔而迷人的数学领域，有时也被称为 "高等算术"，包括对整数性质的研究。素数和素因式分解在数论中尤为重要，包括托天函数在内的许多函数也是如此。如果大家在这门课程中并没有取得自己想要的成绩，可以了解一下数论与密码学课程1V1辅导。

一、课程简介

密码学是数学的一个分支，它提供了通过可能不安全的渠道发送信息的保密交换技术。本单元介绍了理解最常用的现代公钥密码系统的基础数学所需的初等数论工具。主题包括欧几里得算法、费马小定理、中文余数定理、莫比乌斯反演、RSA 密码系统、Elgamal 密码系统和 Diffie-Hellman 协议。此外，还讨论了计算复杂性问题。

二、详解

密码学是安全传输信息的过程，它不会让任何不想要的第三方理解信息。密码学的应用已有数千年的历史。数论和密码学有着千丝万缕的联系，我们将在下面的课程中看到这一点。

首先，您需要熟悉密码学第 2 课，其中包括质数、最大公约数、模运算等概念。请参见密码学第 2 课。

如何找到质数?几个世纪前，人们认为如果 n 是整数，那么 n2+n+41 总是质数。这对 n=0,1,2,...38,39 恰好是正确的，但对 n=40 却不正确，对 n=41 显然也不正确(加法的每一部分都有一个 41 的因数)。

费马(1601-1665 年)猜想，对于所有大于或等于 0 的 n，数 Fn=22n+1 都是素数。然而，他的猜想到此为止，因为 F5=4,294,967,297 。欧拉后来发现 641 除以 F5，因此它不是质数。到目前为止，已知的费马素数只有费马自己最初发现的五个。欲了解更多信息，请参阅《费马数》。

勒让德和高斯分别猜想，素数 <=n 的个数(记为 Π(n))约为

n/(1+1/2+1/3+...+1/n)

这一猜想现在被称为质数定理，由哈达玛于 1896 年证明。有关这方面的更多确切信息，请参阅质数定理。

问题集 1 考虑到为什么 n2+n+41 不能给出 n=41 的质数，证明没有一个多项式能给出每个整数 n 的质数。

证明 (1+1/2+1/3+...+1/n+...) 无穷大。假设质数定理成立，那么当 n 变大时，质数与整数之比会是多少?

整数的一个重要性质是 "井序原则"，我们会发现它非常有用，它指出每个正整数集合都包含一个最小的成员。由于这一性质无法从算术的一般性质中得到证明，我们将把它作为一个公理。

GCD 是线性组合：对于任何非零整数 a 和 b，都存在整数 s 和 t，使得 gcd(a,b)=as+bt。此外，gcd(a,b)是形式为 as+bt 的最小正整数。

证明考虑集合 S={am+bn | m,n 为整数且 am+bn>0}.由于 S 显然是非空的(如果 m 和 n 的某个选择使得 am+bn<0 ，那么就用 -m 和 -n 替换 m 和 n)，井式排序原则断言 S 有一个最小的成员，例如 d=as+bt。我们断言 d=gcd(a,b)。为了验证这一说法，使用除法运算法则写出 a=dq+r，其中 0<=r0，那么 r=a-dq=a-(as+bt)q=a-asq-btq=a(1-sq)+b(-tq) 它在 S 中，这与 d 是 S 的最小成员这一事实相矛盾。现在假设 d' 是 a 和 b 的另一个公因子，并写成 a=d'h 和 b=d'k。那么 d=as+bt=(d'h)s+(d'k)t=d'(hs+kt) 所以 d' 是 d 的除数。

欧几里得定理：如果 p 是一个能整除 ab 的质数，那么 p 能整除 a 或 p 能整除 b。

证明：由于 p 不除 a(并且 p 是质数)，a 和 p 是相对质数，所以 gcd(a,p)=1，并且根据前述，存在整数 s 和 t，使得 1=as+pt。那么 b=abs+ptb，由于 p 除以这个等式的右边，所以 p 也除以 b。

最小公倍数：两个非零整数 a 和 b 的最小公倍数是同时是 a 和 b 的倍数的最小正整数。

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