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昆士兰大学流体和粒子力学课程辅导|伯努利方程

作者：海马发布时间：2024-03-18 18:03

在18世纪，丹尼尔·伯努利对流体运动中的力进行了研究。这个方程出现在很多物理学、流体力学和飞机设计的教科书中。该方程表明，流体中的静压力ps加上动压力(即密度ρ的一半乘以速度V的平方)等于整个流体中的一个常数。我们称这个常数为总压力pt。

在流体属性页面所讨论的，我们可以从两个角度来看待流体：一是从我们能够测量的流体的宏观特性，二是从分子运动和相互作用的微观尺度。在这一页中，我们将从这两个角度来考虑伯努利方程。
昆士兰大学流体和粒子力学课程辅导

一、宏观尺度推导

热力学是描述流体宏观特性的科学分支。在热力学的研究中，能量守恒是一个主要成果;在一个系统内，能量既不会被创造也不会被破坏，而是可以从一种形式转换为另一种形式。我们将从能量守恒方程出发推导伯努利方程。在纳维-斯托克斯方程页面上给出了能量守恒的最一般形式。该公式考虑了非定常流动和粘性相互作用的影响。假设稳定的无粘流，我们有一个以流体的焓表示的简化能量守恒方程：

ht2 - ht1 = q - wsh

其中ht是流体的总焓，q是传递到流体中的热量，wsh是流体所做的有用功。

假设没有热量传递到流体中，并且流体没有做功，那么：

ht2 = ht1

由总焓的定义可知：

e2 + (p * v)2 + (.5 * V^2)2 = e1 + (p * v)1 + (.5 * V^2)1

其中e是内能，p是压力，v是比容，V是流体的速度。根据热力学第一定律，如果没有做功，也没有传热，内能保持不变：

(p * v)2 + (.5 * V^2)2 = (p * v)1 + (.5 * V^2)1

比容是流体密度r 的倒数：

(p / r)2 + (.5 * V^2)2 = (p / r)1 + (.5 * V^2)1

假设流动不可压缩，密度为常数。将能量方程乘以常数密度：

(ps)2 + (.5 * r * V^2)2 = (ps)1 + (.5 * r * V^2)1 = 常数 = pt

这是伯努利方程最简单的形式，也是教科书中最常引用的形式。如果我们在推导时做出不同的假设，我们可以推导出方程的其他形式。

应用任何方程时，了解其使用限制非常重要;当对问题的性质做出某些简化假设时，方程的推导过程中通常会出现限制。如果您忽略这些限制，您可能经常会从方程式中得到不正确的“答案”。例如，这种形式的方程是在假设流动不可压缩的情况下推导出来的，这意味着流动的速度远小于声速。如果您将此形式用于超音速流动，则答案将是错误的。如果你想知道如何使用伯努利方程，那么你可以使用HighMark的课程辅导服务。

二、分子尺度推导

我们可以通过考虑气体分子的运动来对方程进行另一种解释。流体中的分子在不断的随机运动中，并相互碰撞以及与流体中物体的墙壁碰撞。分子的运动给予了它们线性动量，而流体压力则是这种动量的一种度量。如果气体静止，分子的所有运动都是随机的，我们检测到的压力是气体的总压力。如果气体被设置成运动或流动，一些随机速度分量会改变为有向运动。我们称这种有向运动为“有序”，与无序的随机运动相对。

我们可以将一个“压力”与气体有序运动的动量联系起来。我们将这种压力称为动压力。分子剩余的随机运动仍会产生一个称为静压力的压力。在分子层面上，随机和有序运动之间没有区别。每个分子都有某个方向的速度，直到它与另一个分子碰撞并改变速度。但是当你将所有分子的所有速度相加时，你会检测到有序运动。根据能量和动量守恒定律，静压力加上动压力等于流动中的原始总压力(假设我们不在流动中添加或减少能量)。动压力的形式是密度乘以速度的平方再除以二。