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多伦多大学留学生需要掌握的7个微积分重要概念

作者：海马发布时间：2023-08-24 14:34:13

微积分是研究变化和运动的数学分支。它提供了一套强大的工具，用于理解和量化随时间或空间变化的过程。微积分领域包括两个主要分支：微分和积分。这些分支相互关联，构成了科学、工程学、经济学等各个领域的基础。在本讨论中，我们将深入探讨微积分的重要定义，每一个定义都对我们理解该学科起着至关重要的作用。

1.极限

极限是数学的基础部分，也是学生在数学课上首先学习的内容之一。简而言之，确定函数的极限就是确定函数在接近某一点时的值。例如，确定函数 f(x) = 3x + 1 在接近 x 2 时的极限，就等于确定 f(x) = 3x + 1 在接近 x 2 时的数值。

对于许多函数来说，找到 p 处的极限与找到 p 处的函数值一样简单。但是，如果 f(x) 在 p 处不存在，或者 p 是无穷大，情况就会变得复杂一些。不过，一般来说，你只需要知道极限是什么，极限对于算术是必要的，因为它们可以用来计算某些东西的值，例如手工计算非常困难的无穷级数的值之和。

2.导数

导数类似于代数中的斜率概念。在代数中，直线的斜率表示线性函数的变化率，即 x 每增加一个单位，y 增加多少。在数学中，直线的斜率表示线性函数的变化率。算术将这一概念扩展到非线性函数(即图形不是直线的函数)，即可以确定曲线的斜率或增长率。

问题在于，这些非线性函数在曲线上每一点的斜率都不同。这意味着 f(x) 的导数通常仍包含一个变量。例如，f(x) = x2 的导数或变化率等于 2x。因此，要求得 f(x) 在某一点(例如 x = 3)的变化率，我们需要求得 x = 3 时的导数值，即 2x。答案当然就是 2x = (2)(3) = 6。

3.积分

定义积分最简单的方法是，积分等于构造函数时的下面积。例如，在区间 x = [0, 2] 上对函数 y = 3(水平线)进行积分，就等于计算一个长 2、宽(高)3、西南点为原点的矩形的面积。当然，这只是一个简单的例子;计算所需的面积不能通过方程 A = lx w 来确定。

相反，计算将曲线下的奇形空间分解成无数个微型矩形。每个微型矩形的高度为 f(x)，宽度为 dx。虽然 dx 始终不变，但每个矩形的 f(x) 都不同。因此，x = p 处微型矩形的面积等于 [dx][f(x(p))]的乘积，所以面积之和或积分等于 [dx][f(x(a))]+[dx][f(x(b))]+[dx][f(x(c))]+ 。+ [dx][f(x(无穷大))]。换句话说，积分或求曲线下面积可以正式定义为计算无穷级数的极限(即计算微型矩形的面积之和)。

这听起来很复杂，但其实只是一种修改代数面积概念的方法，以处理由 "波浪形 "曲线而非直线边缘组成的奇特形状。最后，积分的另一个很酷、很有用的性质是 f(x) = f(x) 积分的导数。换句话说，函数的导数和函数的积分是相反的运算。要 "撤消 "导数，只需对导数进行积分即可(反之亦然)。

4.可微性

如果一个函数的导数存在于某一点，则称该函数在该点是可微的。换句话说，如果函数在特定点上有明确的瞬时变化率，则该函数是可微的。可微性是一个比连续性更强的条件，因为一个函数可以连续而不可微。如果函数在区间上是可微的，那么它在该区间上也是连续的。

5.链式法则

链式法则是微积分的一个基本定理，描述了如何求两个函数组成的导数。如果 u(x) 和 v(x) 都是可微函数，那么组成 u(v(x)) 的导数由 u 关于 v 的导数与 v 关于 x 的导数的乘积给出：(u ◦ v)'(x) = u'(v(x)) * v'(x). * v'(x). 链式法则对于微分由较简单函数组合而成的复杂函数至关重要。

6.微积分基本定理

微积分基本定理是将微分和积分概念联系起来的一对定理。该定理的第一部分指出，如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上是连续的，且 F(x) 是它的反分数，则 f(x) 从 a 到 b 的定积分等于 F(b) - F(a)。该定理的第二部分建立了微分与积分之间的联系，指出如果 F(x) 是导数为 f(x) 的可微函数，则 ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。该定理为定积分的求值提供了有力的方法，并突出了导数与积分之间的相互作用。