纽约大学拓扑学课程学不会怎么办?

拓扑学是数学的一个分支，描述数学空间，特别是空间形状所产生的属性。拓扑学家所研究的许多形状都非常奇特，以至于几乎所有的日常物体，如碗、宠物和树木，都只占少数。拓扑学 "一词源于希腊语，意思是地方(topos)和研究(-logy)。纽约大学拓扑学课程学不会怎么办?专业的课程辅导可以为大家解决问题!

一、连续变形

拓扑学家研究形状的特性，特别是在形状扭曲、拉伸或变形后仍能保持的特性。这一系列允许的变化都符合一种数学思想，即连续变形，大致意思是 "拉伸，但不撕裂或合并"。例如，一个圆可以被拉伸成一个椭圆，或者像手印轮廓那样的复杂形状。撕裂和合并会造成所谓的不连续性，因此是不允许的。

两个可以拉伸成相同形状的物体被描述为同形物，同形物来自拉丁化的希腊语，意思是 "类似于"(homeo-)和希腊语中的 "形式、形状或图形"(morphe)。从这个角度看，几乎所有的日常物体都与球体(球)或某种环状体(甜甜圈)同构。

二、欧拉特性

物体的欧拉特性是在连续变形的情况下不发生变化的特性的一个例子，它以 18 世纪德国数学家莱昂哈德-欧拉的名字命名。

要证明物体的欧拉特性，首先我们取一个球体(或与球体同构的物体，如人头)，在其表面贴上多边形。然后，我们计算面(边)、边(两条边相交的地方)和顶点(三条或更多条边相交的地方)的数量。现在，将面(F)和顶点(V)的数量相加，再减去边(E)的数量：F + V - E。由于五个柏拉图实体(由一种正多边形构成的三维图形)都与球体同构，因此它们的欧拉特征都是 2。

如果我们想想添加一条边或一个顶点意味着什么，就能理解为什么欧拉特性是守恒的了。在两个顶点之间添加一条边会将一个面分割成两个：边增加一条，面增加一个，而顶点保持不变。同样，在一条边上添加一个顶点也会将该边一分为二：边增加一个，顶点增加一个，面保持不变。

现在铺贴环面，计算 F、V 和 E，你会得到欧拉特性为零的结果。

三、不可定向曲面

迄今为止，我们讨论过的所有形状都有一个共同点，那就是它们都是可定向的。这意味着小虫在外侧表面行走时将始终停留在外侧;内侧也是如此。也有一些表面是不可定向的，这意味着在表面上游荡的小虫可能会在两边都出现。最有名的例子就是莫比乌斯带(其欧拉特性为零，EC = 0)。

虽然 "莫比乌斯带的两面 "这样的语言有助于介绍这一概念，但它与拓扑学家的观点背道而驰，拓扑学家认为任何表面都是二维的，居住在其中的生物也是二维的。拓扑学家认为，任何曲面都是二维的，居住在曲面上的生物也是二维的。从这个角度看，把二维的虫子想象成生活在曲面本身会更有用。对于可定向表面，有右手虫和左手虫，但对于不可定向表面，右手虫和左手虫是无法区分的。这就强调了莫比乌斯带代表了一个空间，而我们感兴趣的是空间形状所产生的属性。

四、基本多边形

从表面是二维的角度来看，用基本多边形来表示拓扑空间是很方便的。要将基本多边形的二维表面转化为三维物体，只需拉伸表面，使相应的边沿箭头所指的方向连接即可。如图所示，将平行边连接起来可以形成圆柱体(EC = 0)，将反平行线连接起来可以形成莫比乌斯带(EC = 0)。

一个二维小虫从一个基本多边形的箭头边界走过后，会被传送到另一个边界，并以与箭头方向相同的方式定向。虫子是保持不变还是翻转，分别表示曲面是可定向的还是非定向的。2-D 错误不允许穿过虚线边界。

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