麦考瑞大学微分方程课后补习

在数学中，微分方程是包含一个或多个函数及其导数的方程。函数的导数定义了函数在某一点的变化率。它主要用于物理学、工程学、生物学等领域。微分方程的主要目的是研究满足方程的解以及解的性质。在此学习如何解微分方程。

解微分方程最简单的方法之一是使用显式公式。在本文中，我们将讨论微分方程的定义、类型、求解方法、微分方程的阶和度、常微分方程，并结合实词示例和已解问题。

1.微分方程的定义

微分方程是包含一个或多个项以及一个变量(即因变量)相对于另一个变量(即自变量)的导数的方程

dy/dx = f(x)

这里 "x "是自变量，"y "是因变量

例如，dy/dx = 5x

微分方程包含偏导数或常导数。导数代表变化率，微分方程描述的是连续变化的量与另一个量的变化之间的关系。有很多微分方程公式可以用来求导数的解。

2.微分方程的阶数

微分方程的阶数是方程中最高阶导数的阶数。这里给出了微分方程不同阶数的一些示例。

dy/dx = 3x + 2 , The order of the equation is 1

(d2y/dx2)+ 2 (dy/dx)+y = 0. The order is 2

(dy/dt)+y = kt. The order is 1

3.一阶微分方程

从第一个例子中可以看出，这是一个阶数等于 1 的一阶微分方程。所有导数形式的线性方程都是一阶的。 它只有一阶导数，如 dy/dx，其中 x 和 y 是两个变量，表示为

dy/dx = f(x, y) = y’

4.二阶微分方程

包含二阶导数的方程就是二阶微分方程。 它表示为

d/dx(dy/dx) = d2y/dx2 = f”(x) = y”

5.微分方程的阶数

微分方程的阶数是最高阶导数的幂，原方程以导数多项式方程的形式表示，如 y'、y"、y"'等。

假设 (d2y/dx2)+ 2 (dy/dx)+y = 0 是一个微分方程，那么这个方程的阶数就是 1：

dy/dx + 1 = 0, degree is 1

(y”’)3 + 3y” + 6y’ – 12 = 0, degree is 3

(dy/dx) + cos(dy/dx) = 0;它不是 y′ 中的多项式方程，而且无法定义这种微分方程的阶数。

6.常微分方程

常微分方程涉及函数及其导数。它只包含一个自变量及其相对于该变量的一个或多个导数。

常微分方程的阶数定义为方程中出现的最高导数的阶数。n 阶常微分方程的一般形式为

F(x, y, y’,…., yn ) = 0

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