加拿大纽芬兰纪念大学微积分课程预习秘诀!

微分和积分是微积分的重要内容，微分和积分的公式是相辅相成的。当我们对一个函数的导数进行积分时，就会发现原来的函数。换句话说，积分是微分的逆运算，因此积分也被称为反导。微分将函数分成几个部分，积分则将这些部分合并起来，从而恢复原来的函数。从几何的角度来看，微分和积分的公式分别用于确定曲线的斜率和曲线下的面积，本文将为还未系统学习微积分课程的同学们，进行初步的预习。

1.什么是微分和积分?

微分和积分是微积分的分支，它们决定了函数的导数和积分。微分涉及找到一个量的微小变化与另一个量的微小变化之间的关系，而另一个量的微小变化取决于第一个量。另一方面，求函数曲线下面积的过程称为积分。我们可以求函数在特定值和有限极限值下的微分和积分。在给定的有限边界值范围内进行的函数积分称为最终积分。

函数 f(x) 在 x = a 点的微分和积分的基本公式如下：

a.微分：f'(a) = limh→0 [f(a+h) - f(h)]/h

b.积分：∫f(x) dx = f(x) + C

2.微分和积分规则

下面，我们将回顾一些最重要、最常用的微分和积分规则。用于函数组合微分的规则有乘积法则、商法则和链法则。同样，我们在函数积分时也使用不同的规则，如微积分基本定理和最常用的积分方法，即代入法、分部积分法、部分分数积分法等。下面介绍微分和积分的规则及其公式：

a.微分乘积法则：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)

b.微分商法则：[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - g'(x)f(x)]/[g(x)]2

c.微分链法则：[f(g(g(x))]' = f'(g(x)) × g'(x)

d.分式积分： ∫f(x)g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx - ∫[f'(x) × ∫g(x) dx] dx

3.微分与积分的相似之处

接下来，我们将回顾微分和积分的一些共同性质和相似之处。微分和积分的共同相似点和公式如下：

a.它们都满足线性性质，即 d(f(x) ± g(x))/dx = d(f(x))/dx ± d(g(x))/dx 和 ∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x)dx。

b.微分和积分互为逆过程。

c.它们满足标量乘法性质，即 d(kf(x))/dx = kd(f(x))/dx 和 ∫kf(x) dx = k ∫f(x)dx。

4.关于微分和积分的重要说明：

微分与积分互为逆过程。因此，在对函数的导数进行积分时，我们会得到原始函数和积分常数。微分得到的是一个量的微小变化率。另一方面，积分给出的是连续极限的数值，描述的是函数的累积效应。

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