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卡迪夫大学应用数学论文怎么写?

作者:海马 发布时间:2024-07-24 10:47:38

良好的数学写作,如同良好的数学思维一样,是一项必须通过练习和发展才能达到最佳效果的技能。本文的目的是为年轻的数学家在撰写他们的第一篇论文时提供帮助。其目的不仅在于协助写出一篇优秀的论文,还在于帮助学生开始思考数学写作。如果大家在写论文的过程中遇到困难,可以点击蓝字链接直接咨询。卡迪夫大学毕业论文辅导

一、正式与非正式的阐述

一旦您为论文有了一个基本的大纲,您应该考虑“由定义、定理和证明组成的正式或逻辑结构,以及由动机、类比、示例和元数学解释组成的互补的非正式或介绍性材料。在任何数学表述中,这种材料的划分都应显著地保持,因为该学科的性质首先要求逻辑结构清晰。”
这两种类型的材料并行工作,以使您的读者在逻辑上和认知上都能理解您的工作(这两者往往大不相同——在您能够证明微积分基本定理之前,有多少人认为可以使用反导数来计算积分?)“由于正式结构不依赖于非正式结构,作者可以先完整详细地写出前者,然后再添加后者。”

因此,写作过程的下一个阶段可能是为您的论文的逻辑结构制定一个大纲。几个问题可能会有所帮助:首先,您到底证明了什么?这些定理所依据的引理(您自己的或他人的)是什么。这些定理的推论是什么?在决定哪些结果称为引理,哪些称为定理,哪些称为推论时,问问自己哪些是核心思想。哪些是自然地从其他结果推导出来的,哪些是论文的真正关键部分?写作的结构要求您的假设和推论必须符合线性顺序。
然而,很少有研究论文实际上具有线性结构,即引理变得越来越复杂,一个接一个,直到证明了一个定理,然后是一系列越来越复杂的推论。相反,大多数证明可以用非常复杂的图表来建模,其中几个基本假设以复杂的方式与一些著名的定理相结合。
可能有几条看似独立的推理线在最后一步汇聚。不用说,任何断言都应遵循其依赖的引理和定理。然而,可能有许多线性顺序满足这一要求。鉴于此困难,您有责任首先理解这种结构,其次安排您写作中必然的线性结构,以尽可能好地反映工作的结构。当然,具体的方式取决于具体情况。

一种有助于揭示您论文复杂逻辑结构的技术是对结果进行恰当的命名。通过适当地命名您的结果(引理作为基础,定理作为真正的实质,推论作为最后的工作),您将在引理中创造一种平行感,并帮助您的读者在没有与您一起经历研究的情况下,欣赏哪些是真正关键的思想,哪些他们可以更快地浏览。

另一种开发简洁逻辑大纲的技术源于保罗·哈尔莫斯(Paul Halmos)在《如何写数学》(HTWM)中的一个警告,即永远不要重复证明:

如果定理2 的证明中的几个步骤与定理 1 的证明的部分非常相似,这是一个信号,表明可能有些东西没有被完全理解。同一问题的其他症状是:“使用与定理 1 的证明相同的技术(或方法、设备、技巧)……”,或者,更直白地说,“见定理 1 的证明”。当这种情况发生时,很有可能有一个值得发现、制定和证明的引理,从这个引理中可以更容易、更清晰地推导出定理 1 和定理 2。(第 35 页)

在您开始写论文之前,应该仔细考虑这些结构问题,尽管写作过程本身肯定会帮助您更好地理解结构。

既然我们已经讨论了正式结构,现在我们转向非正式结构。正式结构包含正式的定义、定理证明格式和严格的逻辑,这是“纯”数学的语言。非正式结构补充了正式结构,并与之并行。它使用不太严格(但同样准确!)的语言,在阐明工作的数学位置(如我们上面所讨论的)以及向读者呈现更具认知性的工作展示方面发挥着重要作用。因为尽管数学家们用逻辑语言写作,但很少有人实际上用逻辑语言思考(尽管我们确实是逻辑思考),所以为了理解您的工作,通过微妙地展示为什么某事是真实的以及您如何证明这样的定理,他们将得到极大的帮助。在写作之前,概述您希望在这些非正式部分传达的内容,很可能会导致更有效的沟通。

在您开始写作之前,您还必须考虑符号。符号的选择是撰写研究论文的关键部分。实际上,您正在发明一种语言,您的读者必须学习才能理解您的论文。好的符号首先让读者忘记他正在学习一种新语言,其次为您的证明要点提供了一个清晰易懂的框架。另一方面,糟糕的符号是灾难性的,可能会阻止读者甚至阅读您的论文。在大多数情况下,遵循惯例是明智的。使用ε 表示素数,或 x(f) 表示函数,当然是可能的,但几乎从来都不是一个好主意。

二、撰写证明

撰写好证明的第一步是陈述定理。一个措辞恰当的定理将使证明的撰写容易得多。定理的陈述首先应包含完全正确的假设。当然,所有必要的假设都必须包括在内。另一方面,无关的假设只会分散定理的重点,并应在可能的情况下予以消除。

在撰写证明时,就像撰写整篇论文一样,您必须以线性顺序写下一组可能不是线性形式的假设和推论。我建议,在您写作之前,您规划出假设和推论,并尝试以一种对读者造成最少困惑的方式对陈述进行排序。例如:

在《如何写数学》(HTWM)中,哈尔莫斯(Halmos)在撰写证明方面提供了几个重要的建议:

1. 正向撰写证明

糟糕教学的一个常见技巧是在证明开始时说:“给定 ε,设 δ 为 ε/2”。这是经典分析中传统的反向证明写作。它的优点是易于被机器验证(而不是被人类理解),并且它有一个可疑的优点,即在最后会得出小于 ε 的结果。使人类读者的任务不那么艰巨的方法很明显:正向撰写证明。像作者总是开始的那样,从小于 ε 的东西开始,然后做需要做的事情——在正确的时间乘以 3M² + 7,稍后除以 24 等等——直到您得到最终的结果。两种安排都不优雅,但正向的那个是可理解和可记忆的。(第 43 页)

2. 避免不必要的符号。考虑:

一个由用等号分隔的一长串表达式组成的证明。这样的证明很容易写。作者从第一个方程开始,进行自然的代换得到第二个方程,收集项,置换,插入并立即消去一个有灵感的因子,通过这样的步骤一直进行,直到得到最后一个方程。这再次是编码,读者不仅被迫在阅读时学习,而且同时还要在阅读时解码。
这种双重努力是不必要的。作者通过再花十分钟写一个精心措辞的段落,可以为每个读者节省半小时和大量的困惑。该段落应该是一个行动的配方,以取代仅仅报告行动结果并让读者猜测它们是如何获得的无益代码。该段落会说类似这样的话:“对于证明,首先用 p 代替 q,收集项,置换因子,最后,插入并消去因子 r。

 

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