美国高校抽象代数课程辅导

抽象代数是一个广泛的数学领域，涉及代数结构，如群、环、向量空间和矩阵。粗略地说，抽象代数是研究当数系的某些属性被抽象出来时会发生什么;例如，改变基本算术运算的定义会产生一种被称为环的结构，只要运算是一致的。

一、抽象代数中的抽象层次

有可能抽象出 "常规 "数系中的几乎所有属性，其代价是所产生的对象--被称为岩浆(由一个集合和一个二元运算组成，不需要满足除闭合之外的任何属性)--太笼统而无趣。在另一个极端，有可能抽象出几乎没有任何属性，这允许找到许多结果，但所产生的对象(通常的数字系统)太具体，无法解决更普遍的问题。

大多数抽象代数致力于在通用性和结构之间取得合理平衡的对象，最明显的是群和环(下文将详细讨论)，其中大部分算术的基本属性被保留下来，但它们的具体内容被自由保留。尽管如此，一些更高层次的抽象偶尔也是有用的;例如，类群与拉丁方块有关，单体经常用于计算机科学，是类别的简单例子。

二、集团理论

群理论作为一个抽象的对称性概念是很有用的，这使它适用于广泛的领域：多项式的根之间的关系(如伽罗瓦理论)和魔方的解法都是突出的例子。

非正式地讲，群是一个配备有二元运算的集合 ∘，因此对群的任何两个元素进行运算也会产生一个群的元素。例如，整数在加法下形成一个群，非零实数在乘法下形成一个群。循环运算需要满足一些与这些 "正常 "数系类似的属性：它应该是关联性的(这基本上意味着运算的顺序并不重要)，而且应该有一个相同的元素(上面第一个例子中是0，第二个例子中是1)。更正式地说，一个群是一个配备有操作\cdot⋅的集合，使以下公理成立;注意，\cdot⋅不一定是指乘法;相反，它应该被视为两个变量上的函数(事实上，\cdot⋅甚至可以指加法)：

Group Axioms

1) Associativity. For any x, y, z \in Gx,y,z∈G, we have (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)(x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z).

2) Identity. There exists an e \in Ge∈G, such that e \cdot x = x \cdot e = xe⋅x=x⋅e=x for any x \in Gx∈G. We say that ee is an identity element of GG.

3) Inverse. For any x \in Gx∈G, there exists a y \in Gy∈G such that x \cdot y = e = y \cdot xx⋅y=e=y⋅x. We say that yy is an inverse of xx.

还值得注意的是闭合公理的强调，因为在处理子群(完全包含在另一个子群中的群)时，验证闭合是很重要的：

4) Closure. For any x, y \in Gx,y∈G, x*yx∗y is also in GG.

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