匹兹堡大学常微分方程解法指南

常微分方程包含未知函数的导数。常微分方程是一个包含变量和因变量对自变量的导数的方程。常微分方程分为均质微分方程和非均质微分方程两种。

让我们进一步了解常微分方程以及求阶、求度和求解的过程。

一、什么是常微分方程?

常微分方程(ODE)是具有常导数(而非偏导数)的方程。微分方程是包含变量和因变量对自变量的导数的方程。微分方程至少包含一个未知函数的导数，可以是常导数，也可以是偏导数。其中，常微分方程具有常导数。在这里，常微分方程通常只被称为微分方程。

这些常微分方程中导数的符号为 dy/dx = y''、d2y/dx2 = y'''、d3y/dx3 = y'''、dny/dxn = yn。下面是一些常微分方程的例子。

• (dy/dx) = sin x
• (d²y/dx²) + k²y = 0
• (d²y/dt²) + (d²x/dt²) = x
• (d³y/dx³) + x(dy/dx) - 4xy = 0
• (rdr/dθ) + cosθ = 5

二、常微分方程的阶和度

常微分方程的两个重要方面是微分方程的阶和度。让我们分别详细了解一下。

常微分方程的阶数

微分方程的阶数是因变量相对于自变量的最高导数的阶数。考虑以下微分方程：dy/dx = ex、(d4y/dx4) + y = 0、(d3y/dx3) + x2(d2y/dx2) = 0。在这些微分方程中，最高导数分别为一阶、四阶和三阶，因此它们的阶数分别为 1、4 和 3。

一阶微分方程：它是阶数等于 1 的一阶微分方程。所有导数形式的线性方程都是一阶的。它只有一阶导数，如 dy/dx，其中 x 和 y 是两个变量，表示为：dy/dx = f(x, y) = y'

二阶微分方程：包含二阶导数的方程为二阶微分方程。它表示为：d/dx(dy/dx) = d2y/dx2 = f"(x) = y"。

三、常微分方程的阶数

如果微分方程可以用多项式形式表示，那么出现的最高阶导数的积分幂称为微分方程的阶数。微分方程的阶数是方程中出现的最高阶导数的幂。要求得微分方程的阶数，我们需要用一个正整数作为每个导数的索引。例题

(d4ydx4)3+4(dydx)7+6y=5cos3x

这里微分方程的阶数是 4，度数是 3。微分方程的阶数和度数总是正整数。此外，如果一个微分方程不能用以最高阶导数为前导项的多项式方程来表示，那么该微分方程的阶就没有定义。

四、常微分方程的类型

常微分方程大致分为均质微分方程和非均质微分方程。让我们进一步了解这两种微分方程。

均质微分方程

所有项的度数相同的微分方程称为均质微分方程。一般来说，它们可以表示为 P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0，其中 P(x,y) 和 Q(x,y) 是阶数相同的同次函数。下面是一些同阶微分方程的例子。

• y + x(dy/dx) = 0 
• x⁴ + y⁴(dy/dx) = 0