杜克大学数学专业泛函分析高级讲解

泛函分析是数学中的一门深入领域，涉及许多抽象的概念、定义和定理。这些概念可能与初学者在其他数学分支中接触到的内容有所不同，可能需要一些时间来适应。这篇文章为大家带来杜克大学数学专业泛函分析高级讲解。

泛函分析

现代数学分析的一个部分，其基本目的是研究函数 y=f(x)，其中至少有一个变量 x 或 y 在无限维空间上变化。在其最一般的形式下，这样的研究分为三个部分：1) 作为独立对象的无限维空间的引入和研究;2) 研究最简单的函数，即当 x 取值于无限维空间，y 取值于一维空间时(这些称为泛函，因此得名 "泛函分析" );以及 3) 研究所指示类型的一般函数 —— 运算符(参见运算符)。线性函数 X∋x↦f(x)=y∈Y，即线性算子，得到了最全面的研究。它们的理论本质上是线性代数推广到无限维情况。泛函分析方法特点是将经典分析和代数的方法相结合，从而导致了乍看之下非常疏远的数学分支之间的关系。

泛函分析作为一个独立的数学学科始于19世纪末，并在20世纪20年代和30年代得以确立，一方面受特定类别的线性算子研究的影响 —— 与它们相关的积分算子和积分方程 —— 另一方面受现代数学纯粹内在发展的影响，其目标是推广并澄清某些正则行为的真实本质。量子力学也对泛函分析的发展产生了巨大影响，因为其基本概念，例如能量，被证明是无限维空间上的线性算子(物理学家起初将其相当宽松地解释为无限维矩阵)。

**空间的概念**

拓扑向量空间(参见拓扑向量空间)是泛函分析中出现的最一般的空间。这些是定义在复数域C(或其他域，例如实数域R)上的向量(线性)空间X，同时它们也是拓扑空间，并且线性结构和拓扑在以下意义上是兼容的：线性运算在所考虑的拓扑下是连续的。特别地，如果X是度量空间，那么就得到了一个度量向量空间。

更具体但非常重要的情况是，在向量空间X中引入了矢量x∈X的范数 ∥x∥(长度)的概念，这是公理化引入的。带有范数的向量空间称为赋范空间。它是可度量的。通过公式：ρ(x,y)=∥x−y∥ 引入度量ρ。带有范数的向量空间称为Banach空间，如果它对所指示的度量是完备的。

在许多问题中，情况是这样的，可以为向量空间X中的任意两个向量引入内积(x,y)，使得该乘积推广了三维空间中的标准数量积。带有内积的空间称为预希尔伯特空间;它是赋范空间的特例。如果这个空间是完备的，则称为希尔伯特空间。

泛函分析研究了无限维空间，即存在无限个线性独立向量的空间。

从几何角度看，最简单的空间是希尔伯特空间X=H，其性质大部分类似于有限维空间，因为可以通过内积引入类似于两个向量之间夹角的概念。特别地，对于H中的两个向量x,y，如果(x,y)=0，则称它们正交(x⊥y)。在H中成立以下结果：设G是H的子空间，那么任意向量x∈H都有一个投影xG到G上，即一个向量xG∈G，使得x−xG与G中的任意向量正交。由于这个事实，许多在有限维空间中成立的几何构造可以迁移到希尔伯特空间，而它们常常具有解析特性。

从希尔伯特空间过渡到Banach空间时，几何问题变得更加复杂，而在一般拓扑向量空间中尤其如此，因为在其中正交投影无意义。例如，在空间lp(p≥1)中，向量en=(0,…,0,1,0,0,…)构成了一组基，对于lp中的每个向量x，“逐坐标”展开成立。

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