美国留学生的向量分析挑战：如何应对?

向量分析(vector analysis)，数学的一个分支，处理既有大小又有方向的量。有些物理量和几何量被称为标量，只要用合适的度量单位来表示它们的大小，就可以完全定义它们。因此，质量可以用克来表示，温度可以用某种刻度的度数来表示，时间可以用秒来表示。标量可以用时钟或温度计等数字刻度上的点来表示。还有一些量，称为矢量，需要指定方向和大小。速度、力和位移就是矢量的例子。矢量可以用一条有方向的线段来表示，箭头指向矢量的方向，线段的长度代表矢量的大小。

一、矢量代数

矢量的一个原型是一个有向线段AB，可以将其视为表示粒子从其初始位置A到新位置B的位移。为了区分矢量和标量，习惯上用粗体字母表示矢量。因此，图1中的矢量AB可以用a表示，其长度(或大小)用|a|表示。在许多问题中，矢量的初始点位置不重要，因此，如果两个矢量具有相同的长度和方向，则它们被视为相等。

两个矢量a和b的相等性通常用常见的符号表示为a = b，矢量的基本代数运算的有用定义是由几何学提出的。因此，如果在图1中，AB = a表示粒子从A到B的位移，然后粒子移动到位置C，使得BC = b，显然，从A到C的位移可以通过单一位移AC = c完成。因此，逻辑上可以写成a + b = c。这个对a和b的和c的构造与平行四边形法则得出的结果相同，其中结果c由以矢量AB和AD为边的平行四边形的对角线AC给出。由于矢量BC = b的初始点B的位置不重要，所以BC = AD。图1显示了AD + DC = AC，因此满足了交换律。

对向量加法成立。另外，很容易证明关联律

如果s是一个标量，那么sa或as被定义为一个矢量，其长度为|s||a|，方向取决于s的正负。当s为正时，方向与a相同，当s为负时，方向与a相反。因此，a和-a是大小相等但方向相反的矢量。前述的定义以及标量数(用s和t表示)的众所周知的性质表明，

二、向量积

向量相乘会产生两种积，即点积和叉积。两个向量 a 和 b 的点积或标量积(写为 a-b)是实数 |a||b| cos (a,b)，其中 (a,b) 表示 a 和 b 的方向夹角、

如果a和b互相垂直，那么它们的点积a·b = 0，如果a和b都不是零矢量，那么点积为零表明这两个矢量是彼此垂直的。如果a = b，那么cos(a, b) = 1，而a·a = |a|²给出了矢量a的长度的平方。基本代数的结合律、交换律和分配律对于矢量的点乘法也是有效的。

其中，n 是垂直于 a 和 b 平面的单位长度矢量，其方向使得右旋螺钉从 a 向 b 旋转时会沿 n 的方向前进(见图 2)。如果 a 和 b 平行，则 a × b = 0。a × b 的大小可以用以 a 和 b 为邻边的平行四边形的面积来表示。另外，由于从 b 到 a 的旋转与从 a 到 b 的旋转相反、

由此可见，交叉积不是交换律，而是联立律 (sa) × b = s(a × b) 和分配律

三、坐标系

由于物理的经验法则不依赖于特殊或偶然选择的参考坐标系，用于研究物理宇宙的理想工具是矢量分析。引入特殊的参考坐标系建立了矢量与表示这个坐标系中矢量分量的一组数字之间的对应关系，并且从线段上的运算规则导出了这些数字集合的明确操作规则。

如果选择了一组特定的三个非共线矢量(称为基矢量)，那么任何矢量A都可以唯一地表示为平行六面体的对角线，其边是A在基矢量方向上的分量。常用的是一组三个相互正交的单位矢量(即长度为1的矢量)i、j、k，它们沿着熟知的笛卡尔坐标系的轴方向。在这个系统中，表达式采用如下形式：

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