多伦多大学课程预习——概率和建模简介

多伦多大学概率和建模简介介绍概率理论，重点是构建应用的离散概率模型。完成本课程后，学生应了解随机性的概念及其数学表示的各个方面。主题包括随机变量、维恩图、离散概率分布、期望和方差、独立性、条件概率、队列等应用。本文主要介绍离散分布的概述。

一、什么是离散分布?

离散分布是一种描述离散(可单独计数)结果(如 1、2、3、是、否、真或假)发生的概率分布。例如，二项分布就是一种离散分布，它评估的是在给定次数的试验中出现 "是 "或 "否 "结果的概率，给定的是每次试验中事件发生的概率，例如掷 100 次硬币，结果是 "正面"。

统计分布可以是离散的，也可以是连续的。连续分布是由在连续体上的结果构建而成的，例如所有大于 0 的数(包括小数延续到无穷大的数，如圆周率 = 3.14159265......)。一般来说，离散和连续概率分布的概念以及它们所描述的随机变量是概率论和统计分析的基础。

二、了解离散分配

散点图是数据研究中使用的一个统计概念。希望确定特定研究结果和概率的人，通过映射数据集中的可测量数据点，绘制出概率散点图。概率散点图的许多形状，如正态分布("钟形曲线")，都可以通过散点研究得出。

统计学家可根据待测结果的性质，确定离散或连续分布的发展。正态分布是连续的，考虑了数线上所有可能的结果，而离散型分布则不同，它是由只能遵循有限或离散结果集的数据构建而成的。

因此，离散型分布代表了结果数量可数的数据，这意味着可能的结果可以放在一个列表中，然后绘制在图形上。列表可以是有限的，也可以是无限的。例如，在确定一个有六个面的骰子的概率分布时，列表是 1、2、3、4、5、6。如果掷两颗骰子，掷出两颗 6(12)或两颗 A(2)的概率要比其他组合小得多;在图形上，你会看到图形上最小的条代表这两种概率。

三、离散概率分布的类型

最常见的离散概率分布是二项分布、伯努利分布、多项式分布和泊松分布。

1.二项分布

二项概率分布是一种只给出两种结果概率的分布。在这种分布中，数据是在以两种形式之一重复试验后收集的，并被归类为成功或失败。一般来说，只有两种可能结果的有限集合，比如零或一。例如，如果你掷硬币，你会得到{杯子，硬币}列表。

二叉分布用于基于二叉树的期权估值模型。在二叉树模型中，标的值只能有两种可能值中的一种--在这种模型中，每次迭代只有两种可能的结果：固定值的向上移动或向下移动。

2.伯努利分布

伯努利分布与二项分布类似，都有两种可能的结果。进行测试时，伯努利分布的结果为 0 或 1。1表示成功，0表示失败--这种测试称为伯努利测试。

因此，如果你把一个绿球(代表成功)和一个红球(代表失败)放在一个有盖的碗里，然后不加观察地进行选择，你会把每个结果记录为 0 或 1，而不是样本的成功或失败。伯努利分布用于确定投资成功或失败的概率。

3.多项式分布

当多次测量的结果可能超过两种时，就会出现多项式分布。例如，假设你有一个盖碗，里面有一个绿球、一个红球和一个黄球。在测试之前，请注意随机选择每个弹珠作为样本的次数。

四、计算离散概率分布

如何计算离散概率分布取决于测试、要测量的内容和测量方法。例如，如果掷两次硬币，可能的组合如下：

反面 /反面 (TT)

正面/反面 (HT)

反面 /正面(TH)

正面/正面 (HH)

由于掷两次硬币有两种可能的结果，因此有四种可能性。每种结果代表四分之一的可能性。HT 和 TH 组合各占四分之一(基本相同)，代表一半的结果。因此，你会在四分之一的情况下得到 TT 或 HH，在一半的情况下得到 HT 或 TH。

如果掷两颗骰子，效果也是一样的，因为掷骰子的结果是离散的。因为每个骰子有六个面，所以有 36 种可能，但不可能出现 1 的结果，因为每个骰子上最小的数字是 1。最小的结果是 2，最大的结果是 12。许多组合会重复出现，就像硬币的例子一样，因此重复出现的可能性越多，写出的情况也就越多。

如下表所示，如果把掷骰子结果的数字相加，有一种情况的结果是 2，有一种情况的结果是 12，因此 2 和 12 的概率是 36 分之一。

X(结果)等于 x(所选数字)的概率 (P) 是：

1 / 36

P(x=3) = 2 / 36

P(x=4) = 3 / 36

P(X=5) = 4 / 36

p(x=6) = 5 / 36

p(x=7) = 6 / 36

p(x=8) = 5 / 36

p(x=9) = 4 / 36

p(x=10) = 3 / 36

p(x=11) = 2 / 36

p(x=12) = 1 / 36

骰子掷出 2 的概率是 36 分之一。掷出 3 个骰子的概率是 36 分之 2，以此类推。

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