样本方差：简单定义，如何用简单步骤找到它

样本方差 s2 用于计算样本的差异程度。样本是从总体中抽取一定数量的项目。例如，如果您要测量美国人的体重，要测量人口中每个人的体重是不可行的(无论从时间还是金钱的角度来看)。解决的办法是从人口中抽取一个样本，比如 1000 人，然后用这个样本量来估算整个人口的实际体重。方差可以帮助您了解权重的分布情况。

一、样本方差的定义

方差在数学上被定义为与平均值的平方差的平均值。但这在英语中究竟是什么意思呢?为了理解方差的计算，请将其分解为几个步骤：

第 1 步：计算平均数(平均权重)。

第 2 步：减去平均数，然后将结果平方。

第 3 步：算出这些差值的平均值。

二、样本方差有什么用?

虽然方差在数学意义上是有用的，但实际上它不会提供任何可以使用的信息。例如，如果你抽取一个权重样本，你可能会得到一个 9801 的方差。这可能会让你挠头，不知道为什么要计算它!答案是，您可以使用方差来计算标准差--这是衡量权重分散程度的更好方法。为了得到标准差，取样本方差的平方根：

√9801 = 99.

标准差与平均值相结合，可以告诉您大多数人的体重是多少。例如，如果您的平均值是 150 磅，标准差是 99 磅，那么大多数人的体重介于 51 磅(平均值-99)和 249 磅(平均值+99)之间。

样本方差公式

如果用手计算样本方差，教科书上给出的 "常用 "公式是

s² = Σ(xi - x̄)² / (n - 1)

三、为什么在样本方差公式中使用平方?

值为平方(而不是立方等)的原因与毕达哥拉斯定理和正交性有关(正交性是指“独立”的另一种说法)。对于两个独立的随机变量X和Y，我们有：

Var (X + Y) = Var(X) + Var(Y)

这类似于以下情况：

如果两个三角形的边长a和b是正交的，那么斜边的长度是√(a² + b²)(Kjos-Hanssen，2019)。

计算样本方差

方差公式可能很难使用，特别是如果您对运算顺序不太熟悉的话。远程最简单的方法是使用在线标准差计算器来找到方差。

步骤1：将给定数据集中的数字相加。

3 + 21 + 98 + 203 + 17 + 9 = 351

步骤2：对您的答案进行平方：

351 × 351 = 123,201

...然后除以项目数量。在我们的例子中有6个项目，所以：

123,201 / 6 = 20,533.5

暂时将这个数字放在一边。

步骤3：这次对步骤1中的原始数字进行单独平方：

3 × 3 + 21 × 21 + 98 × 98 + 203 × 203 + 17 × 17 + 9 × 9

将这些数字(平方值)相加：

9 + 441 + 9604 + 41209 + 289 + 81 = 51,633

步骤4：从步骤3的结果中减去步骤2的结果。

51,633 - 20,533.5 = 31,099.5

暂时将这个数字放在一边。

步骤5：从数据集中减去1*。对于我们的例子：

6 - 1 = 5

步骤6：将步骤4中的数字除以步骤5中的数字。这将给出方差：

31,099.5 / 5 = 6,219.9

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