STAT-GB 6014 纽约大学概率论简介

“概率理论”领域是数学的一个分支，它关注于描述不确定过程中不同结果的可能性。概率论是统计学领域的基石，统计学关注于评估从随机数据样本得出的推断的不确定性。因此，我们需要了解概率理论的基础，以理解推论统计学中使用的一些基本原则。在定义“概率”这个词的含义之前，我将介绍一些术语，以激发思考概率的需求。

一、偶然事件

随机性就在我们身边。概率论是一个数学框架，它使我们能够以逻辑合理的方式分析偶然事件。事件的概率是一个数字，表示该事件发生的可能性有多大。这个数字总是介于 0 和 1 之间，0 表示不可能，1 表示肯定。

概率实验的一个经典例子是公平掷硬币，其中两种可能的结果是正面或反面。在这种情况下，抛出正面或反面的概率是 1/2 。在实际的一系列掷硬币过程中，我们可能会得到多于或少于 50%的正面结果。但随着掷硬币次数的增加，正面的长期频率必然会越来越接近 50%。

对于不公平或加权硬币，两种结果的可能性并不相同。您可以通过上下拖动真实概率条(右侧蓝色部分)来改变硬币的权重或分布。如果我们给结果分配数字，比如 1 代表正面，0 代表反面，那么我们就创建了一个称为随机变量的数学对象。

二、期望值

随机变量的期望值是一个试图捕捉该随机变量分布中心的数字。它可以解释为从给定分布中提取的许多独立样本的长期平均值。更准确地说，它被定义为随机变量支持区中所有可能值的概率加权，

E[X]=∑x∈XxP(x)

考虑一下掷公平骰子的概率实验，观察运行样本平均值向期望值 3.5 收敛的过程。

三、方差

期望值是对中心性的衡量，而随机变量的方差则是对随机变量分布范围的量化。方差是随机变量与其期望值之间平方差的平均值、

Var(X)=E[(X−E[X])2]

四、概率为什么重要?

您每天都在使用或看到身边的概率。即使您没有意识到，您每天都在使用概率来对结果未知的事情做出决策。您可能在不知不觉中利用理论或实验概率进行数学计算，也可能利用主观概率做出判断。下面是一些现实生活中的例子，说明你每天如何使用或看到概率：

1.天气

气象学家无法准确预测天气，因此他们使用仪器和工具来找出下雪、下雨或其他天气状况的可能性。如果下雨的概率是 30%，那么气象学家就确定了下雨的概率，即 100 天中有 30 天的天气条件类似。根据天气预报，您可以利用概率来决定当天早上穿凉鞋还是雨靴去上班。

2.体育运动

教练和运动员经常使用概率来计算比赛和比赛中的最佳运动策略。例如，如果一名橄榄球运动员在整个赛季中 15 次射门得分 10 次，那么他下一次射门得分的概率就是 10/15 或 2/3。再比如，棒球教练通过计算球员的平均打击率来确定比赛阵容。如果一名球员的平均打击率是 300，这意味着他每 10 次击球中就能击出 3 支安打，而他获得安打的概率是 3/10。

3.保险

在分析保险单和考虑免赔额时，概率起着重要作用。例如，如果您所在地区每 100 名司机中就有 20 人在去年遭受过冰雹损坏，那么在选择汽车保险时，您就可以利用概率来了解您的汽车遭受冰雹损坏的概率为 1/5。这种显著的概率可能会鼓励您为冰雹损坏投保综合险，甚至可能降低免赔额。

4.游戏

当您玩棋盘游戏、纸牌游戏或视频游戏等带有运气或机会元素的游戏时，您通常会权衡发生理想事件的几率，例如得到您需要的牌或在骰子上掷出特定的数字。这种有利事件发生的可能性有助于你决定何时冒险或愿意冒多大风险。例如，扑克玩家知道拿到某些牌的概率，比如拿到两张同点的概率是 42%，而拿到三张同点的概率是 2%。

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