纽约大学topology课程辅导

作者：海马发布时间：2022-12-23 10:19

拓扑学研究空间的属性，这些属性在任何连续变形下都是不变的。它有时被称为 "橡胶板几何"，因为物体可以像橡胶一样被拉伸和收缩，但不能被打破。例如，一个正方形可以在不破坏它的情况下变形为一个圆，但一个8字形却不能。因此，正方形在拓扑学上等同于圆，但与8字形不同。

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拓扑学是一个相对较新的数学分支;拓扑学的大部分研究都是在1900年以后完成的。以下是拓扑学的一些分支领域。

1.一般拓扑学或点集拓扑学。

一般拓扑学通常考虑空间的局部属性，并与分析密切相关。它概括了连续性的概念来定义拓扑空间，在这些空间中可以考虑序列的极限。有时距离可以在这些空间中定义，在这种情况下，它们被称为公制空间;有时没有距离的概念是有意义的。

2.组合拓扑学。

组合拓扑学考虑空间的全局属性，由顶点、边和面的网络建立起来。这是拓扑学最古老的分支，可以追溯到欧拉。已经证明，拓扑学上的等价空间具有相同的数字不变性，我们现在称之为欧拉特征。这是一个数字(V-E+F)，其中V、E和F是一个物体的顶点、边和面的数量。例如，四面体和立方体在拓扑学上等同于球体，球体的任何 "三角化 "都有2的欧拉特征。

3.代数拓扑学。

代数拓扑学也考虑空间的全局属性，并使用群和环等代数对象来回答拓扑学问题。代数拓扑学将一个拓扑学问题转化为代数问题，希望能更容易解决。例如，一个被称为同源组的群组可以与每个空间相关联，环和克莱因瓶可以被区分开来，因为它们有不同的同源组。

4.微分拓扑学。

微分拓扑学考虑的是具有某种与每一点相关的平滑性的空间。在这种情况下，正方形和圆形不会彼此平滑地(或微分地)等同。微分拓扑学对于研究矢量场的属性很有帮助，例如磁场或电场。

拓扑学被用于许多数学分支，如可微分方程、动力系统、结理论和复杂分析中的黎曼面。它也被用于物理学中的弦理论，以及描述宇宙的时空结构。

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