什么是抽象代数?美国高校抽象代数辅导

什么是抽象代数?抽象代数是代数的一个分支，涉及对代数系统或结构的研究，其中有一个或多个数学运算与具有可识别模式的元素相关，与通常的数字系统不同。在抽象代数中，进行数学运算的元素组合不能解释为数字，因此它具有抽象性。

一、抽象代数可以用来做什么?

抽象代数的主要目的是分析一个被赋予了一个或多个具有特殊特征或属性的运算的集合，以精确的方式了解运算的这些属性之间的关系，以及它们关联的后果和可能的结果。

二、什么是代数结构?

在抽象代数中，"结构 "是指具有一个或多个代数运算的集合或组。这些结构是根据其中可能存在的运算数量，以及它们的特点、元素或子集的数量，以及主集的元素之间存在的关系(无论其性质如何)来分类的。

三、什么是构成法则?

这是一个来自抽象代数的术语，用来命名一种二元运算，即把给定集合的两个元素分配给另一个元素，产生不同的代数结构。构成法则可以是内部的，也可以是外部的，分别取决于应用中的元素是属于同一个集合还是属于不同的集合。

构成的内部规律由以下符号表示：⊙、⊚、⊕、⊖、⊛、⊗和⊘。组成的外部规律用以下符号表示：⋅, ∘, +, -, ⋇.x, 和 ∕。集合用大写字母表示(A、B、C...)，其元素用小写字母表示(A、B、C...)。

四、有哪些类型的代数结构?

抽象分支中最常见的代数结构可以分为：

(一)单一法则的组成或二元运算：

1.岩浆：形式为(A,⊚)的代数结构，其中A是一个具有单一内部二元操作的集合。

2.半群：形式为(A,⊚)的结构，其中A是一个非空集，⊚是定义在A中的一个内部操作。

3.群：由一个非空集与一个内部操作形成的代数结构，该内部操作将一对元素结合起来，构成一个集内的第三个元素。

4.准群：具有线性项的代数结构，其配置像岩浆一样，具有单一的内部构成法，其元素是可分的。它们与群的主要区别是，它们不一定是关联的。

5.单体：具有关联操作和一个中性元素的代数结构;后者是它们与半群的区别所在。

（二）有两个或两个以上的组成法则或二元运算：

1.环：由一个集合和两个内部二元运算组成的代数系统，表示为(R,+,*)。

2.体(也叫场)：它们是除法的换元环。

3.模块：在群表示理论中起作用的代数结构，其中一个群包含了一个数学对象的具体变换。

4.矢量空间(也叫线性空间)：由一个非空集、一个内部操作(叫和)和一个外部操作(叫标量积)组成的代数结构。矢量空间的元素被称为矢量。

5.缔造性代数：它们是模块，也允许以分布和关联的方式进行向量的乘法。

6.李代数bras：定义在向量空间上的代数结构，通常与李群相关。这个数学对象以前被称为无限小群。等

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