复数分析美国留学生高分数学辅导讲解

对于工程学和物理科学专业的学生来说，复分析是一门重要的学科，也是数学的核心科目。除了数学上的优雅之外，复分析还提供了强大的工具来解决非常困难或几乎不可能用其他方法解决的问题。这篇文章为大家带来复数分析美国留学生高分数学辅导讲解。

一、关于复数分析

复数分析是对复数及其导数、操作和其他性质的研究。复数分析是一种极其强大的工具，在解决物理问题方面有着意想不到的大量实际应用。例如，轮廓积分提供了一种计算困难积分的方法，它通过研究函数在复平面靠近积分极限的区域和积分极限之间的奇异点来计算。

复分析的关键结果是柯西积分定理，这也是单变量复分析拥有如此多漂亮结果的原因。皮卡尔大定理(Picard's great theorem)就是复分析意想不到的力量的一个例子，该定理指出，一个解析函数在本质奇点的任何邻域无限次地假设每一个复数，可能只有一个例外!

复数分析的一个基本结果是考奇-黎曼方程(Cauchy-Riemann equations)，该方程给出了一个函数必须满足的条件，才能使导数的复数广义化(即所谓的复数导数)存在。当复导数的定义 "无处不在 "时，函数就被称为解析函数。

二、连续性

我们从一个相当微不足道的复值函数开始。假设 f 是实变量的复值函数。这意味着，如果 x 是实数，f(x) 就是复数，可以分解为实部和虚部：f(x) = u(x)+i v(x)，其中 u 和 v 是实变量的实值函数;也就是我们在实微积分中熟悉的对象。如果 u 和 v 在 x0 处连续，我们就说 f 在 x0 处连续。

复变的复值函数的连续性是一个非难性质。如果一个函数在 z 接近 zo 时接近 f(zo) 的值，那么这个函数在点 zo 上就是连续的。由于 z 位于复平面(也称阿甘平面)中，它可以从多个方向接近该点。因此，我们需要完善我们的定义，以满足新的需求。

形式上，如果对于任意 ε>0 存在一个 δ>0，使得所有 |z-zo|<δ 的 |f(z)-f(zo)|<ε ，我们就说 f(z) 在 zo 处是连续的。因此，只要 z 位于以 zo 为圆心、半径为 δ 的圆盘(称为 zo 的邻域)内，且函数接近 f(zo) 的值。

三、解析性

建立了复变函数的连续性概念后，我们就可以深入研究复变函数的微分了。在讨论复变函数微分的过程中，我们会发现这类函数需要满足一个重要的标准，即考奇-黎曼方程(Cauchy-Riemann equations)。如果类比一下，我们就会知道，要使实变函数的导数在给定点上有限存在，该函数在该点上应该是连续的。复变函数的类似标准是考奇-黎曼方程。我们很快就会在下面的讨论中看到证明。

实变量的复值函数很容易微分，即 f'(x)=u'(x)+iv'(x)，其中 f(x) 是实变量 x 的复值函数。这并没有什么新奇之处。

四、了解更多

我们知道，复变量 z 本身实际上是两个实变量 x 和 y 的一对。我们将 z 画成复平面上的一个点，并用有序对 (x,y) 表示 z=x+iy。因此，这就带来了一个问题，即如何从复变函数微分复值函数。正如我们所预料的，导数的定义类似于实数微积分：

因此，第一个挑战就是如何使 δz 变小。在复平面上，我们可以从多个方向实现这一目标。从定义中可以看出，函数的导数在取极限时不能改变。否则，每次切换极限都会得到新的导数。事实上，我们正在做的事情是，研究当我们取 δz⇢0 时，或者换句话说，取 δx⇢0 和 δy⇢0 时，函数 f(z) 是如何变化的。从本质上讲，我们的导数不能因为改变取极限的顺序而改变。而改变取极限的顺序并不总能保证数值不变（每个数学家都能编出一个函数来证明这个命题！）。因此，可微分性在复数世界中是一个非同小可的属性。

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