塔弗茨大学抽象代数初学者指南

抽象代数是代数学的一个分支，主要研究代数系统或结构，这些系统或结构中的一个或多个数学运算与具有可识别模式的元素相关联，不同于通常的数字系统。在抽象代数中，结合起来进行数学运算的元素不能解释为数字，因此具有抽象性。

抽象代数的元素是对不同数系和其他数学研究对象所共有的代数性质的抽象。因此，其目标是学习运算的性质，而不考虑操作数的特征。这一分支大多创建于 19 世纪，以满足对数学定义更高精度的需求。

一、抽象代数可以用来做什么?

抽象代数的主要目的是分析一个具有特殊特征或性质的一个或多个运算集合，以精确的方式了解这些运算性质之间的关系，以及它们之间联系的后果和可能的结果。

二、什么是代数结构?

在抽象代数中，"结构 "指的是具有一个或多个代数运算的集合或群。这些结构的分类依据是其中可能存在的运算的数量，以及它们的特征、元素或子集的数量，以及主集元素之间存在的关系(无论其性质如何)。

三、什么是构成律?

这是抽象代数中的一个术语，用来命名一种二元运算，即把给定集合中的两个元素分配给另一个元素，从而产生不同的代数结构。构成律可以是内部的，也可以是外部的，这取决于应用中的元素是属于同一个集合，还是属于不同的集合。

内部构成律用以下符号表示：⊙、⊚、⊕、⊖、⊛、⊗和⊘。外部构成规律用以下符号表示：⋅、∘、+、-、⋇.x 和 ∕。集合用大写字母表示(A、B、C......)，元素用小写字母表示(a、b、c......)。

四、代数结构有哪些类型?

抽象分支中最常见的代数结构可分为以下几类：

单一组成律或二元运算律：

岩浆：形式为(A,⊚)的代数结构，其中 A 是具有单一内部二元运算的集合。

半群：形式为(A,⊚)的结构，其中 A 是一个非空集，⊚ 是定义在 A 中的内部运算。

群：由非空集和内部运算组成的代数结构，内部运算是将一对元素组合成集内的第三个元素。

准群：具有线性项的代数结构，其结构类似于岩浆，具有单一的内部组成法则，其元素是可分的。它们与群的主要区别在于它们不一定是联立的。

单元：具有联立运算和中性元素的代数结构;后者是它们与半群的区别所在。

具有两个或两个以上的结合律或二元运算：

环：由一个集合和两个内部二元运算组成的代数系统，表示为 (R,+,∙)。

体(又称场)：它们是交换环的除法。

模块：在群表示理论中起作用的代数结构，其中群包含数学对象的具体变换。

向量空间(又称线性空间)：由一个非空集、一个内部运算(称为和)和一个外部运算(称为标量积)组成的代数结构。向量空间的元素称为向量。

联立方程：它们是模块，也允许向量以分配和联立的方式相乘。

李代数：定义在向量空间上的代数结构，通常与李群相关联。这种数学对象以前被称为无穷小群。

格：它们是代数和阶论中使用的代数结构;其名称来源于哈塞图的形状。

布尔代数：概述逻辑运算的代数结构，用于数学、数字电子学和计算机科学。

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